Cayley-Dickson Construction of Sedenions from Pure Right-handed Octonions

Using the traditional Cayley-Dickson formula (a,b)(c,d) = (ac - db*, a*d + cb) gives as special cases: Using this process to obtain sedenions from octonions requires first choosing a representation of the octonions to act upon. An instructive choice is a representation of the true octonions having only right-handed triads (there are 2 such, indicated by the 2 lines in the table of 480 representations of the octonions having 00 as the leading signmask), in particular (e1,e2,e4), (e2,e3,e5), (e3,e4,e6), (e4,e5,e7), (e5,e6,e1), (e6,e7,e2), (e7,e1,e3).

Applying the Cayley-Dickson construction above and using the canonical mapping gives the following multiplication table containing the triads listed beside it ("T#" is a triad's 0-based position in the lexically ordered list of quaternionic triads; "Handbit" is 0 for righthanded and 1 for lefthanded, giving a signmask value of 7dada5a78 for this multiplication table):

e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15
e0 e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15
e1 e1 -e0 e4 e7 -e2 e6 -e5 -e3 -e9 e8 -e12 -e15 e10 -e14 e13 e11
e2 e2 -e4 -e0 e5 e1 -e3 e7 -e6 -e10 e12 e8 -e13 -e9 e11 -e15 e14
e3 e3 -e7 -e5 -e0 e6 e2 -e4 e1 -e11 e15 e13 e8 -e14 -e10 e12 -e9
e4 e4 e2 -e1 -e6 -e0 e7 e3 -e5 -e12 -e10 e9 e14 e8 -e15 -e11 e13
e5 e5 -e6 e3 -e2 -e7 -e0 e1 e4 -e13 e14 -e11 e10 e15 e8 -e9 -e12
e6 e6 e5 -e7 e4 -e3 -e1 -e0 e2 -e14 -e13 e15 -e12 e11 e9 e8 -e10
e7 e7 e3 e6 -e1 e5 -e4 -e2 -e0 -e15 -e11 -e14 e9 -e13 e12 e10 e8
e8 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 -e0 -e1 -e2 -e3 -e4 -e5 -e6 -e7
e9 e9 -e8 -e12 -e15 e10 -e14 e13 e11 e1 -e0 -e4 -e7 e2 -e6 e5 e3
e10 e10 e12 -e8 -e13 -e9 e11 -e15 e14 e2 e4 -e0 -e5 -e1 e3 -e7 e6
e11 e11 e15 e13 -e8 -e14 -e10 e12 -e9 e3 e7 e5 -e0 -e6 -e2 e4 -e1
e12 e12 -e10 e9 e14 -e8 -e15 -e11 e13 e4 -e2 e1 e6 -e0 -e7 -e3 e5
e13 e13 e14 -e11 e10 e15 -e8 -e9 -e12 e5 e6 -e3 e2 e7 -e0 -e1 -e4
e14 e14 -e13 e15 -e12 e11 e9 -e8 -e10 e6 -e5 e7 -e4 e3 e1 -e0 -e2
e15 e15 -e11 -e14 e9 -e13 e12 e10 -e8 e7 -e3 -e6 e1 -e5 e4 e2 -e0

Heptads contain the triads to the right (as referenced by T#):
H#T#'s of Member Triadssignmask = hexComponent elements
H00,1,2,7,8,13,180000000 = 00e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7
H10,3,4,9,10,19,201101110 = 6ee1,e2,e4,e8,e9,e10,e12
H20,5,6,11,12,21,221011110 = 5ee1,e2,e4,e11,e13,e14,e15
H31,3,5,14,15,31,321101110 = 6ee1,e3,e7,e8,e9,e11,e15
H41,4,6,16,17,33,341110110 = 76e1,e3,e7,e10,e12,e13,e14
H52,3,6,23,24,27,281101110 = 6ee1,e5,e6,e8,e9,e13,e14
H62,4,5,25,26,29,301001110 = 4ee1,e5,e6,e10,e11,e12,e15
H77,9,11,14,16,23,251101110 = 6ee2,e3,e5,e8,e10,e11,e13
H87,10,12,15,17,24,260010100 = 14e2,e3,e5,e9,e12,e14,e15
H98,9,12,27,29,31,331101110 = 6ee2,e6,e7,e8,e10,e14,e15
H108,10,11,28,30,32,341111100 = 7ce2,e6,e7,e9,e11,e12,e13
H1113,14,17,19,21,27,301101110 = 6ee3,e4,e6,e8,e11,e12,e14
H1213,15,16,20,22,28,290111000 = 38e3,e4,e6,e9,e10,e13,e15
H1318,19,22,23,26,31,341101110 = 6ee4,e5,e7,e8,e12,e13,e15
H1418,20,21,24,25,32,331110010 = 72e4,e5,e7,e9,e10,e11,e14
T#;Triad UnitsHandbit
0 e1,e2,e40
1 e1,e3,e70
2 e1,e5,e60
3 e1,e8,e91
4 e1,e10,e121
5 e1,e11,e151
6 e1,e13,e141
7 e2,e3,e50
8 e2,e6,e70
9 e2,e8,e101
10 e2,e9,e120
11 e2,e11,e131
12 e2,e14,e151
13 e3,e4,e60
14 e3,e8,e111
15 e3,e9,e150
16 e3,e10,e130
17 e3,e12,e141
18 e4,e5,e70
19 e4,e8,e121
20 e4,e9,e101
21 e4,e11,e140
22 e4,e13,e151
23 e5,e8,e131
24 e5,e9,e140
25 e5,e10,e111
26 e5,e12,e150
27 e6,e8,e141
28 e6,e9,e131
29 e6,e10,e150
30 e6,e11,e121
31 e7,e8,e151
32 e7,e9,e111
33 e7,e10,e141
34 e7,e12,e131

Observations on Heptad Structure

To analyze the octonionic nature of the heptads, they must be compared to the known representations of octonions and twisted octonions. Except for H0, the indices of the unit elements must thus be remapped to {1,2,3,4,5,6,7}. The natural map is monotonic; once applied, the renamed triads are used to determine which of the 30 quaternionic groupings corresponds to the heptad, hence which of the signmask values correspond to true octonions. For XOR-based representations, this is easy - the remapped heptad corresponds to the XOR quaternion grouping (row 0 of the table of 480 representations of the octonions), and the order of bits in the signmask is unaltered, so direct comparison to the special signmask values 08,0f,11,... determines which triad (if any) is distinguished.

In the present case, however, this mapping yields heptads from other than row 0 in the table of 480 representations of the octonions, making analysis a bit more complicated. Thus:

Thus, H1, H3, H5, H7, H9, H11, H13, and H0 are all true octonions; the distinguished triads in the other heptads are (specified by T#):
H2: 0; H4: 1; H6: 2; H8: 7; H10: 8; H12: 13; H14: 18; these are exactly the triads in H0 (the starting octonions upon which the Cayley-Dickson construction acted).